Se il ragionamento seguito fin qui vi è chiaro, possiamo passare alla questione della immunità di gregge ovvero a quel valore critico di vaccinati che consente di portare R0 al valore di 1 e impedire la progressione esponenziale dei contagi.
La protezione del vaccino è fondamentale, tanto più ora che dobbiamo combattere contro una variante molto più contagiosa (la Delta) rispetto alla variante iniziale di Wuhan.
L’anno scorso, guardando Regione per Regione (prima colonna) ai dati di occupazione dei posti letto di terapia intensiva (seconda colonna) e di occupazione di posti letto ordinari (terza colonna) la situazione era questa (16-25 novembre 2020 – Monitoraggio n. 28 Ministero della salute)
Il Piemonte era saturo di malati COVID-19. Una Regione come la mia, con oltre 4 milioni di abitanti era nella situazione peggiore di tutta Italia: 64% di occupazione posti letto terapie intensive ed un incredibile 88% di occupazione di letti ordinari.
Nell’Ospedale in cui lavoro di 380 posti letto 340 erano occupati da malati COVID-19.
In tutte le altre Regioni la situazione dei posti letto occupati era a doppia cifra.
Chi stava meglio (per modo di dire) aveva tassi di occupazione al 30%.
Quest’anno come sarebbe stata la situazione con una variante 3-4 volte più contagiosa della variante Alfa dell’inverno 2020?
Lockdown inevitabile.
Un lockdown che, colpevolmente, sia le Regioni che il livello nazionale non hanno voluto implementare già nell’autunno 2020 causando migliaia di morti evitabili.
Ecco invece i dati dello stesso periodo di quest’anno (22-28 novembre 2021 – Monitoraggio n. 81 Ministero della salute):
Cosa sia cambiato dal terribile autunno-inverno 2020 a oggi è presto detto: abbiamo vaccinato.
I vaccini modificano la cilindrata delle epidemie (R0) e portano il loro motore ad una velocità non sufficiente per accelerare efficacemente.
Ma come si calcola la percentuale necessaria di persone vaccinate per spingere R0 sotto al valore di 1 che serve per spegnere una epidemia?
Se nel precedente post avevamo osato parlare di equazioni differenziali, questa volta basterà una calcolatrice che esegua le 4 operazioni base imparate alle elementari.
Le formule sono semplici e le spiegherò brevemente.
Da questi calcoli capirete perchè l’epidemia COVID-19 si sarebbe dovuta controllare con una percentuale di vaccinati pari al 70% mentre ora ne serve almeno il 90%.
L’effetto delle vaccinazioni su R0
Abbiamo visto che R0 (indice di riproduzione basale) è il numero medio di persone suscettibili che una persona contagiosa può infettare. Più R0 è elevato maggiore è la velocità di diffusione della epidemia.
Sappiamo anche che se l’agente infettivo impatta su un certo numero di persone che sono immuni l’andamento esponenziale della epidemia comincia a ridursi.
Ma quante devono essere, in percentuale, le persone immuni per arrivare a portare l’R0 di una epidemia sotto a 1?
Facciamo un esempio molto semplice.
Consideriamo il virus influenzale che ha un R0=2.
Supponiamo che una persona affetta da influenza incontri 10 persone suscettibili.
Ognuna di queste 10 persone può contrarre l’influenza ma in considerazione che R0=2 ciò significa che in media solo 2 di queste persone verranno contagiate:
Quindi ognuno dei contatti ha una probabilità del 20% di essere contagiato.
Ora ipotizziamo che due di queste persone siano state vaccinate per l’influenza. Assumendo che la vaccinazione consenta di ottenere una immunità completa ciò significa che l’infezione non potrà più essere trasmessa a loro.
Rimangono pertanto solo 8 persone suscettibili. Ognuna di queste persone ha un 20% di probabilità di prendersi l’infezione.
Ciò significa che 0,2 x 8=1,6 persone potranno essere in media contagiate.
La vaccinazione ha pertanto ridotto l’R0. Prima era 2. Ora R0=1,6.
Portare R0 a 1
Ma come possiamo portare R0 al valore che ci consenta di controllare l’epidemia?
Ricordate la formula precedente? Nell’ottenere una riduzione di R0 da 2 a 1,6 avevamo utilizzato questa:
0,2 x 8=1,6
Il secondo termine (8) era il numero di persone rimaste suscettibili dato che su 10 persone 2 erano vaccinate.
Questo numero si può pertanto scrivere anche così:
Numero suscettibili=(persone totali-persone vaccinate) ovvero:
8=(10-V)
Dove V è il numero di persone vaccinate.
Quindi la formula che avevamo utilizzato:
0,2 x 8=1,6
può essere scritta anche così:
0,2 x (10-V)=1,6
Per ottenere un R0=1 e sapere quanti debbono essere i vaccinati in questo gruppo di persone basta riscrivere questa eguaglianza così:
0,2 x (10-V)=1
L’algebra di base vi consentirà di riformulare l’eguaglianza in questo modo:
Quindi il numero di vaccinati necessari in questo gruppo di persone per portare R0 a 1 è pari a 5.
Vaccinando 5 persone la situazione di prima diventa questa:
Ora i suscettibili sono solo le 5 persone in grigio mentre le 5 persone in blu sono vaccinate.
Ora ciascuno di questi 5 individui ha ancora una probabilità del 20% di prendersi l’influenza dalla persona infetta ma il 20% di 5 è pari a 1.
Questo significa che una persona infetta di una patologia con R0=2 che incontri un numero di persone vaccinate pari al 50% potrà trasmettere il contagio ad una persona sola.
Il contagio non potrà più essere esponenziale e la patologia sarà sotto controllo perche ora R0=1.
Il valore critico
Nelle materie scientifiche questi esempi vanno bene per far comprendere i concetti ma è necessaria una generalizzazione con una formulazione rigorosa.
Il “valore critico” o HIT (Herd Immunity Threshold) equivale alla proporzione di soggetti che debbono essere immuni per garantire una immunità di gregge e quindi un R0=1.
Partiamo dalla ultima eguaglianza che avevamo utilizzato per ricavare il numero di vaccinati necessari in quel gruppo di 10 persone per ottenere un R0=1:
0,2 x (10-V)=1
L’esempio si basava su 10 soggetti e R0=2.
Per generalizzare per qualsiasi popolazione e infezione:
- Sostituiamo il valore 0,2 con un generico simbolo R0 che sostituiremo con l’indice di riproduzione della patologia;
- Invece di mettere 10 (ovvero il numero totale dei soggetti che possono essere contagiati nell’esempio) consideriamo il totale di una qualsiasi popolazione in forma decimale. Utilizziamo il valore 1 che indica il 100% della popolazione;
- V rimane tale e quale ed è la proporzione di soggetti vaccinati che dobbiamo trovare (ovvero il valore critico).
La formula diventa:
Anche qui sfruttando l’algebra otteniamo:
che è identica alla formula finale ottenuta prima ma che ha il vantaggio di essere utilizzata per qualsiasi patologia.
Questa sintetica spiegazione illustra in pochi minuti quanto è importante l’immunità di gregge nel controllare la diffusione delle epidemie:
Quanti vaccinati servono per la immunità di gregge?
Armiamoci di calcolatrice.
Quello che ci serve è sapere il valore di R0.
Sono elencate 3 patologie. Morbillo (Measles), Vaiolo (Smallpox) e Influenza. Per ognuna avete il suo R0 e il calcolo che dovete fare per trovare la proporzione di vaccinati che serve a portare R0 a 1.
Come vedete dalla formula e dal calcolo più è contagiosa la patologia più alta deve essere la proporzione di vaccinati.
Anche se non sono indicate sappiate che:
- la parotite (R0=10-12)
- la varicella (R0=10-12)
- la pertosse (R0=15-17)
richiedono anche esse alte percentuali di vaccinati.
La progressione esponenziale dei contagi è ben rappresentata in questo video dove sono visualizzate le evoluzioni di patologie a diverso R0 (influenza, parotite e morbillo) in popolazioni con copertura vaccinale differente.
Il Morbillo è inarrestabile anche con percentuali di copertura vaccinale del 75% (e così la pertosse).
E’ fondamentale raggiungere il valore critico il più rapidamente possibile per rallentare il contagio.
L’immunità di gregge per il SARS-Cov2: brutte notizie
La variante Alfa aveva un R0 tra 2,5 e 3,5 quindi, inserendo tale valore nella formula otteniamo un valore critico di vaccinati tra 0,65 e 0,71. Cioè tra il 65% ed il 71% della popolazione deve essere vaccinata.
Ecco perchè fin da gennaio 2001 quello era l’obiettivo vaccinale da raggiungere prima dell’autunno per evitare la recrudescenza della epidemia.
Poi purtroppo le cose sono cambiate ed è arrivata la variante Delta.
La variante Delta è molto più contagiosa della Alfa e ha un R0 medio pari a 7.
Che proporzione di soggetti vaccinati serve?
Usando la formula il risulta è 0,85 cioè l’85% della popolazione.
Attenzione che qui parliamo sempre di percentuali di vaccinati dell’intera popolazione non di quella parte di popolazione sopra i 12 anni.
Il ritmo vaccinale di Italia e Spagna è superiore a quello di altri Paesi (Es. Germania e Austria) ma ciò da sola non spiega interamente il fatto che da noi l’epidemia abbia contorni meno gravi.
Conta anche la implementazione delle misure di mitigazione che in quasi tutti i Paesi europei sono state abolite troppo precipitosamente (salvo poi reinserirle a rotta di collo: Olanda, Danimarca, Svezia, Belgio, Austria etc.).
Attualmente la percentuale di persone vaccinate in Italia (con il ciclo primario) è pari al 77,34%.
Siamo ancora indietro rispetto all’obiettivo dell’85%.
Ma siamo molto più indietro a causa di altri tre fattori che non abbiamo considerato:
- L’efficacia dei vaccini
- La necessità di una dose “booster” entro 5 mesi
- La variante Omicron
Tutti fattori che complicano (e di molto) il nostro obiettivo e che esaminerò nel prossimo post.
Protezione individuale e solidarietà
Il concetto della immunità di gregge non si esplica solo nella vaccinazione finalizzata a proteggere i vaccinati ma mira anche a tutelare i soggetti più deboli che o non possono vaccinarsi o non possono proteggersi neppure con il vaccino.
Ci sono infatti molte persone immunodepresse, affette da patologie oncologiche oppure molto anziane che non riescono a sviluppare una adeguata risposta immunitaria neppure vaccinandosi.
Vaccinarsi non serve solo a proteggere noi ma a proteggere anche loro.
Ecco perchè chi non si vaccina è una persona indegna di vivere nella nostra comunità.
Per cui fate la cosa giusta:
Unitevi al gregge.