L’Hubei dello Stivale (Parte 6) – La potenza dei logaritmi

(… segue dalla quinta parte)

L’evoluzione dell’epidemia da SARS-nCov2 è quindi esponenziale. La progressione è tipica: all’inizio i casi ed i decessi sono molto pochi e crescono; ma non di molto. Poi aumentano sempre più velocemente raggiungendo picchi impensabili.

Esiste una leggenda sul gioco degli scacchi che dà l’idea di quanto possa essere incredibile la serie esponenziale: un giorno il gioco fu presentato per la prima volta ad un sultano. Il sovrano si appassionò tanto al gioco che chiese all’inventore che cosa volesse come ricompensa e ne ebbe una richiesta apparentemente modesta: un chicco di grano che avrebbe dovuto essere raddoppiato a ogni casella (2 poi 4, 8, 16, 32 etc). Il sovrano rise di questa ricompensa così misera. Diede disposizioni in merito al suo tesoriere. Il tesoriere quando effettuò i calcoli riferì che non sarebbero bastati tutti i granai non diciamo del suo regno, ma dell’intero pianeta. Il chicco di grano, raddoppiato 64 volte dà infatti una cifra iperbolica pari a 18.446.744.073.709.551.616.

Mentre il sovrano risolse la questione facendo mozzare la testa all’inventore del gioco, noi non possiamo fare altrettanto con il coronavirus.

Quindi dobbiamo capire come egli si diffonde e come possiamo “mitigare” la sua diffusione.

Ecco la crescita esponenziale dei contagi da coronavirus in Italia1:

Questa invece è la progressione dei contagi negli Stati Uniti:

Non facciamoci ingannare dalla diversa pendenza delle curve. In Italia siamo già a 120.000 casi totali mentre gli USA i contagi hanno iniziato a moltiplicarsi da metà marzo. Anche se hanno, al 3 aprile, quasi il triplo dei nostri contagi, hanno molti più abitanti e sono solo nella fase iniziale.

Questa invece è la progressione dei decessi in Italia:

e la figura successiva è la curva dei decessi negli USA:

Anche in questo caso la crescita è più ripida negli USA per lo stesso motivo. La curva italiana dei decessi nelle prime due settimane era praticamente identica. Il coronavirus è ben preparato in matematica e non fa differenze.

In qualsiasi sistema biologico, inserendo un organismo vivente in un ambiente in cui esso possa proliferare, con risorse illimitate e nessun predatore o organismo che concorra allo stesso obiettivo, la crescita è sempre esponenziale.

Dal numero dei lupi, ai parassiti, ai lieviti, ai virus, la crescita avviene fino a che le condizioni per tale crescita si mantengono inalterate.

Una delle migliori descrizioni cinematografiche di questo tipo di crescita si ritrova in questo spezzone di un film culto del secolo scorso (Matrix 1999).

Per il coronavirus la crescita esponenziale si mantiene se si verificano queste condizioni:

  1. Ci deve essere almeno una persona contagiata nel gruppo di persone suscettibili al virus;
  2. Ci deve essere una occasione di contagio tra soggetti infetti e non infetti
  3. Vi devono essere molte persone suscettibili nella popolazione

Con una crescita esponenziale il numero dei casi (o dei decessi) raddoppia a intervalli determinati.

Prendiamo ad esempio una popolazione ipotetica dove una persona risulta infetta al primo gennaio 2020. E supponiamo che il numero delle persone infette raddoppi ogni 3 giorni.

Quante persone risulteranno infette al 31 gennaio? E quante il 19 marzo?

Se non si ostacolasse questa crescita al 31 gennaio avremmo questa situazione: se ogni 3 giorni si verifica un raddoppio dei casi vi sono

30 (giorni del mese): 3 (giorni per il raddoppio)= 10 raddoppi in un mese.

Basta elevare a potenza 10 il numero 2 e si ottengono 1.024 casi a fine gennaio.

Effettuando questi calcoli scopriremo che il 3 febbraio saranno 2.048 (sono raddoppiati dopo 3 giorni).

Il 19 marzo (78 giorni dopo l’infezione iniziale) l’infezione teoricamente avrebbe contagiato 67 milioni di persone.

La differenza tra la progressione lineare (aritmetica) e quella esponenziale è quindi evidente:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

All’inizio i numeri non sono molto differenti: poche decine di casi separano la serie aritmetica da quella esponenziale. Sono numeri che, nella serie esponenziale, sono falsamente tranquillizzanti come quelli che tutti (compreso noi in Italia) abbiamo avuto.

La progressione esponenziale diventa però rapidamente incontrollabile.

Fortunatamente la progressione dovuta al coronavirus non è quella dell’esempio citato.

Innanzitutto il tempo di raddoppio sembrerebbe più lungo (6-7 giorni). Nell’articolo di Lancet che per primo lanciò l’allarme sulla possibile pandemia2, il tempo di raddoppio stimato era di 6.4 giorni (Intervallo di confidenza al 95% 5.8–7.1). Tempi di raddoppio più corti (ad esempio 2.4 giorni come avvenuto negli USA o 4 giorni come avvenuto in Italia) sono dovuti al fatto che nella fase iniziale della epidemia il numero di test è stato insufficiente. Aumentando il numero di tamponi vengono alla luce molti casi con pochi sintomi o totalmente asintomatici ed il numero dei contagi è molto più elevato. I tempi necessari per raddoppiare un numero elevato di casi diventa quindi decisamente superiore.

Ma per capire se stiamo efficacemente riducendo la crescita dobbiamo ricorrere ad un altro tipo di visualizzazione.

I grafici visti precedentemente sono grafici lineari. Ma esiste un altro modo, più corretto, di visualizzare i dati che è quello di utilizzare la scala logaritmica.

Il grafico lineare è decisamente più impressionante perchè visualizza la crescita esponenziale che pare senza limiti. Ma gli stessi dati rappresentati su una scala logaritmica possono essere maggiormente informativi perchè mostrano un dato fondamentale che è il seguente: come si modifica il tasso di crescita e se il tasso di crescita si mantiene esponenziale.

Se le giuste misure adottate (quali quelle dal 18 marzo, in quanto considero le precedenti solo una brutta copia) sono efficaci, la scala logaritmica non solo consente di visualizzare questo cambiamento, ma anche di anticiparlo rispetto ad un grafico lineare.

Uno degli esempi più noti di scala logaritmica è la scala Richter che misura la potenza dei terremoti. Ma anche la scala del pH, dei decibel sono espresse su scala logaritmica.

In questa figura ecco le differenze tra una scala lineare ed una logaritmica:

I grafici esemplificano un esperimento in cui una coltura di cellule viene posta in un ambiente con nutrienti e spazio teoricamente illimitato. Sull’asse delle ascisse vi è il tempo mentre sull’asse delle ordinate viene posta:

  • una scala lineare (a sinistra)
  • una scala logaritmica (freccia rossa) a destra.

La crescita di un investimento in denaro (o di un debito) con un tasso di interesse costante sarebbe rappresentato nello stesso modo.

Su una scala logaritmica una crescita esponenziale costante (e quindi un tempo di raddoppio costante) appare come una linea continua.

Mi dilungherei ancora moltissimo sui logaritmi che io adoro (ognuno ha le sue patologie mentali) ma andiamo al nocciolo della questione.

Questi sono due grafici affiancati in cui viene rappresentato l’andamento dei contagi in Italia e negli USA fino al 19 marzo (giorno del “lockdown” italiano): a sinistra in scala lineare, a destra in scala logaritmica.

L’Italia è più avanti in quanto l’epidemia è iniziata prima, ma l’andamento della crescita esponenziale è evidente.

A destra gli stessi dati in scala logaritmica.

Il grafico in scala logaritmica dell’Italia è molto più informativo. La freccia rossa indica un tratto perfettamente rettilineo che indica una crescita perfettamente esponenziale senza ostacoli. Le stime matematiche davano in quel periodo tempi di raddoppio vicini ai 2 giorni.

Per capirci sono i giorni che vanno dall’esperimento di gemellaggio microbiologico di Atalanta-Valencia di Champions League, ai focolai di Codogno e di Vò Euganeo, al periodi in cui il Governo si divertiva a cerchiare di rosso varie aree geografiche.

Le misure successive fanno “inclinare” la curva ma non quanto si dovrebbe. Ma un cambiamento nella inclinazione si può intuire. Quindi si riduce il tasso di crescita (la “growth rate”).

La curva degli USA al contrario, dimostra che anche gli americani non hanno capito nulla della epidemia e non hanno fatto tesoro di quanto accadeva in Italia (come noi non abbiamo imparato nulla dalla Cina e dalla epidemiologia in generale).

La curva americana, dopo una prima fase altalenante prende una strada opposta a quella italiana e sembra addirittura impennarsi verso l’alto (cerchio viola); la qual cosa su scala logaritmica è veramente un pessimo segno (significa che la “growth rate” addirittura accelera).

Ora passiamo ai decessi. I grafici basati sui contagi non sono affidabilissimi (dipendono molto dai tamponi effettuati) ma i morti da COVID-19 hanno meno rischi di sottostima.

Il grafico seguente, tratto dal Financial Times, è perfetto per visualizzare come sta procedendo l’epidemia nei diversi Paesi . In esso viene rappresentato in scala logaritmica l’andamento dei decessi da COVID-19 fino al 26 marzo.

Vi consiglio di cliccare sul tasto destro e salvare l’immagine per visualizzarla a schermo intero.

L’asse Y è in scala logaritmica ed i vari Paesi sono rappresentati in diversi colori. Le linee tratteggiate rette indicano un tempo di raddoppio dei decessi in un giorno, in 2 giorni, in 3 giorni e in una settimana.

Le stelline indicano per i vari Paesi il momento del lockdown.

In Italia il lockdown è stato deciso dopo 800 morti.

In Spagna e Francia dopo 200 morti.

In Belgio dopo poche decine.

In Cina dopo 30 decessi.

Questo grafico vale più di mille parole.

Ne parlerò la prossima volta.

(segue….)


  1. Tratto da Worldometer https://www.worldometers.info/coronavirus/country/italy/
  2. Joseph T Wu, Kathy Leung, Gabriel M Leung Lancet 2020; 395: 689–97

4 risposte

  1. Maurizio Dagna ha detto:

    Grazie Gabriele questo tuo sforzo di chiarezza intelligente vale oro e lo dico senza retorica.
    Ho pensato di allargarne la conoscenza agli amici della mailing list che come tutti sono privi di interpretazioni illuminanti di questa realtà .
    Ho perso giusto stanotte la mia più cara amica morta al Mauriziano dopo 12 gg. di rianimazione !!!!!!!
    Grazie di cuore
    Maurizio Dagna

  1. 5 Aprile 2020

    […] Ecco la crescita esponenziale dei contagi da coronavirus in Italia1: […]

  2. 6 Aprile 2020

    […] italiana le sei puntate di un medico militante, Gabriele Gallone. Dall’inizio, fino a la potenza dei logaritmi. Siccome Gallone è anche docente di statistica medica trovate un po’ di curve. Per chi avesse […]

  3. 9 Aprile 2020

    […] (…segue dalla 6 parte) […]

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